10.3*. Основание пирамиды REFGH состоит из параллелограмма EFGH со сторонами 10 ст и 18 ст и площадью грани 90 ст². Длина участка, соединяющего вершину пирамиды R с точкой пересечения диагоналей основания О, равна 6 ст и перпендикулярна этим диагоналям. Найдите: а) боковые рёбра; б) площадь боковой поверхности; в) площадь полной поверхности. Кратко Дано: и решение
Давайте разберемся с задачей, связанной с пирамидой REFGH.
Дано:
- Основание пирамиды — параллелограмм EFGH со сторонами 10 ст и 18 ст.
- Площадь основания 90 ст².
- Длина перпендикуляра от вершины R до точки O пересечения диагоналей основания (R) равна 6 ст.
Необходимые вычисления:
a) Найдем длины боковых рёбер.
Для начала нам нужно определить высоту пирамиды относительно основания EFGH. Так как длина перпендикуляра от вершины R к основанию равна 6 ст, это является длиной отклонения от точки O.
Для нахождения длины боковых рёбер RM, RN, RP, зададим точки:
- M — середина стороны EF,
- N — середина стороны FH,
- P — средняя линия EG.
Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин боковых рёбер (например, RM):
\[ RM = \sqrt{RO^2 + OM^2} \]
Где RO — это перпендикуляр (6 ст), а OM — это расстояние от точки O до середины стороны EF. Поскольку у нас параллелограмм, диагонали пересекаются в средней точке.
Сначала найдем длины OM и ON, которые равны:
\[ OM = \frac{10}{2} = 5 \, ст \]
Теперь подставим значения в формулу Пифагора:
\[ RM = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \approx 7.81 \, ст \]
Так как боковые рёбра равны, мы можем сказать, что RM = RN = RP = \sqrt{61} ст.
b) Найдем площадь боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площади боковых граней. Каждая грань является треугольником, основание которого — сторона параллелограмма.
Площадь боковой грани (например, треугольника RFG):
- Основание предназначается из стороны EF (10 ст) или FH (18 ст).
Поскольку высота треугольника также 6 ст (это та же самая высота от R до основания), подсчитаем площадь:
\[ S_{RFG} = \frac{1}{2} \cdot EF \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30 \, ст² \] Подобным образом находим площади для других треугольников. Так как 4 боковые грани, итоговая площадь будет:
\[ S_{боковая} = S_{RFG} + S_{RGH} + S_{REH} + S_{REF} = 30 + 54 + 30 + 54 = 168 \, ст². \]
c) Найдем площадь полной поверхности.
Площадь полной поверхности складывается из площади основания и площади боковой поверхности:
\[ S_{полная} = S_{основания} + S_{боковая} = 90 + 168 = 258 \, ст². \]
Ответы:
а) Боковые рёбра: \( \sqrt{61} \, ст\);
б) Площадь боковой поверхности: \( 168 \, ст²\);
в) Площадь полной поверхности: \( 258 \, ст²\).
