Дана функция x) f = fi ), где f(x) = (x + 1)² + 1, если `` 0 > x >8- √x, если х> 0. ( Вычислите: f(-3); f(-1); f(0); f(4). а) б) Постройте график функции. в) Найдите D(f) и Е(f).
Давайте рассмотрим данную функцию, определим для неё значения в запрашиваемых точках и построим график.
- Определение функции:
Функция представлена следующим образом:
- \( f(x) = (x + 1)^2 + 1 \), если \( -3 < x < 0 \)
- \( f(x) = 8 - \sqrt{x} \), если \( x \geq 0 \)
Теперь давайте вычислим значения функции в указанных точках.
- Вычисление значений:
а) Для \( f(-3) \):
- Мы видим, что \( -3 \) не входит в промежуток \( -3 < x < 0 \), поэтому в данной точке значение функции будет не определено: \[ f(-3) \text{ не определено} \]
б) Для \( f(-1) \):
- Здесь \( -1 \) попадает в промежуток \( -3 < x < 0 \): \[ f(-1) = ((-1) + 1)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1 \]
в) Для \( f(0) \):
- \( 0 \) попадает в первую часть определения: \[ f(0) = 8 - \sqrt{0} = 8 - 0 = 8 \]
г) Для \( f(4) \):
- Здесь \( 4 \) попадает во вторую часть определения: \[ f(4) = 8 - \sqrt{4} = 8 - 2 = 6 \]
Таким образом, мы вычислили:
- \( f(-3) \) — не определено;
- \( f(-1) = 1 \);
- \( f(0) = 8 \);
- \( f(4) = 6 \).
- График функции:
Для построения графика функции нужно нарисовать обе части функции в заданных интервалах.
Для \( f(x) = (x + 1)^2 + 1 \), мы берем точки для \( x \) из интервала \( -3 \) до \( 0 \) и вычисляем значения. Эта часть будет параболой, открытой вверх, с вершиной в \( (-1, 1) \).
Для \( f(x) = 8 - \sqrt{x} \), мы берем \( x \) от \( 0 \) до положительных значений. Эта часть функции будет убывать и начнется с точки \( (0, 8) \) и будет продолжаться вниз.
- Нахождение области определения и диапазона:
в) Область определения \( D(f) \):
- Для первой части: \( -3 < x < 0 \) — не включая -3 и 0.
- Для второй части: \( x \geq 0 \).
- Следовательно: \[ D(f) = (-3, 0) \cup [0, +\infty) \]
Диапазон \( E(f) \):
- Первая часть: минимальное значение \( 1 \) (при \( x = -1 \)), не ограничивается сверху.
- Вторая часть: максимальное значение \( 8 \) (при \( x = 0 \)), минимальное \( 6 \) (при \( x = 4 \)) и уменьшается до \( -\infty \).
- Таким образом: \[ E(f) = [1, 8) \cup (4, +\infty) \]
Надеюсь, это помогло вам лучше понять функцию! Если у вас есть ещё вопросы, пожалуйста, задавайте!
