Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9…

Давайте рассмотрим задачу о квадрате, который разбили на 100 прямоугольников с помощью девяти вертикальных и девяти горизонтальных линий. Поскольку квадрат разбивается на 100 прямоугольников, это означает, что образуются прямоугольники, размеры которых варьируются.

1. Изучим системы координат. Пусть сторона квадрата равна \( L \). Линии, которые параллельны сторонам квадрата, делят квадрат на меньшие прямоугольники. Всего мы получаем 10 секций по горизонтали и 10 секций по вертикали.

2. Из условия нам известно, что среди этих 100 прямоугольников — ровно 9 квадратов. Теперь определим, что такое квадрат. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Это значит, что каждая пара квадратов вряд ли может иметь уникальные размеры одновременно, если их всего 9 и количество уникальных размеров ограничено.

3. Чтобы доказать, что среди квадратов хотя бы два одинаковых, мы можем применить принцип pigeonhole (принцип Дирихле). По сути, если у нас есть 9 квадратов, и для каждого из них мы укажем их размеры, то высота и ширина квадратов будут ограничены общими размерами квадрата, который разбирается на 100 прямоугольников.

4. Мы предполагаем, что размеры этих квадратов могут быть (например) \( a_1 \times a_1, a_2 \times a_2, \ldots, a_9 \times a_9 \). Всего может быть в различных случаях не более 8 уникальных размерных комбинаций квадратов, поскольку они не могут превышать размер самой стороны квадрата \( L \). Это означает, что как только мы добавляем девятый квадрат, возникнет необходимость, чтобы хотя бы два из них были похожи по размеру.

Таким образом, в результате применения принципа Дирихле, мы приходим к заключению, что среди 9 квадратов обязательно найдутся хотя бы два квадрата одинакового размера.