Докажите, что треугольник АВС равноьедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А(0;1), В(1;-4), С(5;2); б) А(-4;1), В(-2;4), С(9;1).
Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, нам нужно определить длины его сторон и выяснить, есть ли две стороны, равные между собой. Для этого воспользуемся формулой для нахождения расстояния между двумя точками.
Формула для расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) в двумерной плоскости выглядит так:
\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
а) Вершины треугольника A(0;1), B(1;-4), C(5;2)
- Находим длины сторон AB, BC и CA.
Длина AB: \[ AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \]
Длина BC: \[ BC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]
Длина CA: \[ CA = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(5)^2 + (1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
Теперь сравниваем длины сторон:
- \(AB = CA = \sqrt{26}\)
- \(BC = 2\sqrt{13}\)
Мы видим, что \(AB = CA\), значит треугольник ABC равнобедренный.
Найдем площадь треугольника ABC
Можно использовать формулу площади треугольника по координатам его вершин:
\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]
Подставляем координаты:
\[ S = \frac{1}{2} \left| 0(-4 - 2) + 1(2 - 1) + 5(1 - (-4)) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 1 + 5(5) \right| = \frac{1}{2} \left| 1 + 25 \right| = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13 \]
Итак, площадь треугольника ABC равна 13.
б) Вершины треугольника A(-4;1), B(-2;4), C(9;1)
Теперь повторим аналогичные шаги для этого треугольника.
- Найдем длины сторон AB, BC и CA.
Длина AB: \[ AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]
Длина BC: \[ BC = \sqrt{(9 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(11)^2 + (-3)^2} = \sqrt{121 + 9} = \sqrt{130} \]
Длина CA: \[ CA = \sqrt{(9 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(13)^2 + 0^2} = \sqrt{169} = 13 \]
Теперь сравниваем длины сторон:
- \(AB = \sqrt{13}\)
- \(BC = \sqrt{130}\)
- \(CA = 13\)
В данном случае ни одна пара сторон не равна, поэтому треугольник ABC не является равнобедренным.
Найдем площадь треугольника ABC
Подставим координаты в формулу площади:
\[ S = \frac{1}{2} \left| -4(4 - 1) + -2(1 - 1) + 9(1 - 4) \right| = \frac{1}{2} \left| -4 \cdot 3 + 0 + 9(-3) \right| = \frac{1}{2} \left| -12 + 0 - 27 \right| = \frac{1}{2} \left| -39 \right| = \frac{1}{2} \cdot 39 = 19.5 \]
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 19.5.
В результате:
- треугольник ABC с вершинами A(0;1), B(1;-4), C(5;2) равнобедренный, его площадь равна 13.
- треугольник ABC с вершинами A(-4;1), B(-2;4), C(9;1) не равнобедренный, его площадь равна 19.5.
