В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 3√5, sinA = 2/√5. Найдите площадь треугольника.
Для нахождения площади треугольника ABC с прямым углом в C можно использовать следующие шаги.
Определим углы и стороны треугольника. Поскольку угол C равен 90°, то треугольник ABC является прямоугольным. У нас есть данные:
- AB (гипотенуза) = 3√5
- sin A = 2/√5
Найдем сторону AC. С помощью определение синуса: \[ \sin A = \frac{противолежащая сторона}{гипотенуза} = \frac{AC}{AB} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{AC}{3√5} = \frac{2}{√5} \] Теперь решим это уравнение для AC: \[ AC = 3√5 \cdot \frac{2}{√5} = 3 \cdot 2 = 6 \]
Теперь найдем сторону BC. Используем теорему Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставляем значения: \[ (3√5)^2 = 6^2 + BC^2 \] \[ 45 = 36 + BC^2 \] \[ BC^2 = 45 - 36 = 9 \implies BC = 3 \]
Теперь можем найти площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \] Подставим найденные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9 \]
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 9 квадратных единиц.
