log²x+2logx-8=0

Чтобы решить уравнение \( \log^2 x + 2\log x - 8 = 0 \), начнем с введения новой переменной. Давайте обозначим \( y = \log x \). Тогда уравнение можно переписать как:

\[ y^2 + 2y - 8 = 0. \]

Теперь это квадратное уравнение, и мы можем применить формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -8 \). Подставим значения:

1. Находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36. \]

2. Находим корни:

\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2}. \]

Теперь решаем:

• Первый корень:

\[ y_1 = \frac{4}{2} = 2. \]

• Второй корень:

\[ y_2 = \frac{-8}{2} = -4. \]

Таким образом, у нас есть два значения для \( y \):

1. \( y_1 = 2 \)
2. \( y_2 = -4 \)

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

1. Для \( y_1 = 2 \):

\[ \log x = 2 \implies x = 10^2 = 100. \]

2. Для \( y_2 = -4 \):

\[ \log x = -4 \implies x = 10^{-4} = 0.0001. \]

В итоге, у нас есть два решения уравнения:

\[ x_1 = 100 \] \[ x_2 = 0.0001 \]

Таким образом, решение уравнения \( \log^2 x + 2\log x - 8 = 0 \) — это \( x = 100 \) и \( x = 0.0001 \).