log²x+logx²=9

Давайте решим уравнение \( \log^2 x + \log x^2 = 9 \).

Сначала упростим второе слагаемое. Мы знаем, что \( \log x^2 = 2 \log x \). Подставляя это в уравнение, получаем:

\[ \log^2 x + 2 \log x = 9 \]

Теперь обозначим \( y = \log x \). Тогда уравнение преобразуется в квадратное:

\[ y^2 + 2y - 9 = 0 \]

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = 2 \), и \( c = -9 \). Подставляем значения:

\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} \]

Рассчитаем дискриминант:

\[ \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

Теперь можем найти корни:

\[ y = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} \] \[ y = -1 \pm \sqrt{10} \]

Получаем два значения для \( y \):

1. \( y_1 = -1 + \sqrt{10} \)
2. \( y_2 = -1 - \sqrt{10} \)

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

1. Для \( y_1 = -1 + \sqrt{10} \): \[ \log x = -1 + \sqrt{10} \implies x = 10^{-1 + \sqrt{10}} = \frac{10^{\sqrt{10}}}{10} \]

2. Для \( y_2 = -1 - \sqrt{10} \): \[ \log x = -1 - \sqrt{10} \] Это значение будет отрицательным, что не приводит к допустимому значению \( x \) (поскольку \( x \) должно быть положительным).

Таким образом, единственное положительное решение уравнения:

\[ x = \frac{10^{\sqrt{10}}}{10} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите рассмотреть другие темы, задавайте смело!