Решить неравенство (5/13)^7x ≤ (5/13)^2x+6 (7/6)^x > 6/7
Чтобы решить неравенство \( (5/13)^{7x} \leq (5/13)^{2x + 6} \), начнем с того, что основание \( 5/13 < 1 \). При этом неравенство будет переворачиваться, когда мы применяем логарифмические свойства, поэтому запишем его, меняя знак:
\[ 7x \geq 2x + 6 \]
Теперь перенесем \( 2x \) в левую часть неравенства:
\[ 7x - 2x \geq 6 \]
Сократим:
\[ 5x \geq 6 \]
Теперь разделим обе стороны на 5:
\[ x \geq \frac{6}{5} \]
Таким образом, решение первого неравенства:
\[ x \geq \frac{6}{5} \]
Теперь перейдем ко второму неравенству: \( (7/6)^x > 6/7 \).
Чтобы решить это неравенство, также следует взять логарифм, в данном случае — поскольку основание больше 1, знак неравенства не меняется:
\[ x \log(7/6) > \log(6/7) \]
Поделим обе стороны на \( \log(7/6) \):
\[ x > \frac{\log(6/7)}{\log(7/6)} \]
Вычислим \( \log(6/7) \) и \( \log(7/6) \). Заметим, что \( \log(6/7) = -\log(7/6) \), поэтому:
\[ x > -1 \]
Теперь у нас есть два условия:
- \( x \geq \frac{6}{5} \)
- \( x > -1 \)
Поскольку \( \frac{6}{5} = 1.2 \) больше, чем -1, основное решение будет:
\[ x \geq \frac{6}{5} \]
Резюмируя, окончательное решение:
\[ x \geq \frac{6}{5} \]
