треугольник ABC, угол CAB =30°, сторона AB =6√3, сторона BC = 6 найти: угол B и угол C
Для решения задачи будем использовать закон синусов и свойства треугольника.
В треугольнике ABC мы знаем, что угол CAB = 30°, сторона AB = 6√3 и сторона BC = 6. Обозначим угол B как α, а угол C как β.
Сумма углов треугольника равна 180°: \[ α + β + 30° = 180° \] \[ α + β = 150° \]
Теперь применим закон синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где
- \( a \) — сторона BC (6),
- \( b \) — сторона AC (которая нам не известна),
- \( c \) — сторона AB (6√3),
- \( A \) — угол CAB (30°),
- \( B \) — угол ABC (α),
- \( C \) — угол ACB (β).
Запишем закон синусов для сторон и углов:
\[ \frac{6}{\sin 30°} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin α} \]
Зная, что \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), подставим это значение:
\[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sin α} \] \[ 12 = \frac{6\sqrt{3}}{\sin α} \] Теперь выразим \(\sin α\):
\[ \sin α = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Следовательно, угол \( α \) равен 60° (так как \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).
Теперь подставим \( α \) в уравнение для суммы углов:
\[ β = 150° - 60° = 90° \]
Таким образом, углы треугольника ABC:
- Угол B (α) = 60°,
- Угол C (β) = 90°.
Резюме: угол B = 60°, угол C = 90°.
