найдите все значения параметра a, при каждом из которых имет хотя бы одно решение система уравнений: 12 cos^2x+5cos^2y+11=6a, 15 cos^2x + 4cos^2y+25=12a
Для решения данной системы уравнений, начнем с двух данных уравнений:
- \( 12 \cos^2 x + 5 \cos^2 y + 11 = 6a \)
- \( 15 \cos^2 x + 4 \cos^2 y + 25 = 12a \)
Сначала выразим \( a \) из каждого уравнения:
Из первого уравнения: \[ 6a = 12 \cos^2 x + 5 \cos^2 y + 11 \] \[ a = \frac{12 \cos^2 x + 5 \cos^2 y + 11}{6} \]
Из второго уравнения: \[ 12a = 15 \cos^2 x + 4 \cos^2 y + 25 \] \[ a = \frac{15 \cos^2 x + 4 \cos^2 y + 25}{12} \]
Теперь мы имеем два выражения для \( a \). Поскольку \( a \) должен быть одинаковым в обоих случаях, приравняем правые части и упростим: \[ \frac{12 \cos^2 x + 5 \cos^2 y + 11}{6} = \frac{15 \cos^2 x + 4 \cos^2 y + 25}{12} \]
Умножим обе стороны на 12 и на 6, чтобы избавиться от дробей: \[ 2(12 \cos^2 x + 5 \cos^2 y + 11) = 15 \cos^2 x + 4 \cos^2 y + 25 \] Раскроем скобки: \[ 24 \cos^2 x + 10 \cos^2 y + 22 = 15 \cos^2 x + 4 \cos^2 y + 25 \]
Переносим все элементы на одну сторону: \[ 24 \cos^2 x - 15 \cos^2 x + 10 \cos^2 y - 4 \cos^2 y + 22 - 25 = 0 \] Соберем подобные: \[ 9 \cos^2 x + 6 \cos^2 y - 3 = 0 \]
Теперь умножим на 3, чтобы упростить: \[ 9 \cos^2 x + 6 \cos^2 y = 3 \] Упростим: \[ 3 \cos^2 x + 2 \cos^2 y = 1 \]
Теперь выразим \( \cos^2 y \): \[ 2 \cos^2 y = 1 - 3 \cos^2 x \] \[ \cos^2 y = \frac{1 - 3 \cos^2 x}{2} \]
Поскольку \( \cos^2 y \) должно быть неотрицательным, мы получаем неравенство: \[ 1 - 3 \cos^2 x \geq 0 \] \[ 3 \cos^2 x \leq 1 \] \[ \cos^2 x \leq \frac{1}{3} \]
Так как \( \cos^2 x \) принимает значения от 0 до 1, это неравенство дает диапазон: \[ 0 \leq \cos^2 x \leq \frac{1}{3} \]
Теперь подставим значение \( \cos^2 x \) в выражения для \( a \): \[ a = \frac{12 \cos^2 x + 5 \cos^2 y + 11}{6} \] \[ \cos^2 y = \frac{1 - 3 \cos^2 x}{2} \]
Таким образом, \[ a = \frac{12 \cos^2 x + 5 \left( \frac{1 - 3 \cos^2 x}{2} \right) + 11}{6} \] \[ = \frac{12 \cos^2 x + \frac{5 - 15 \cos^2 x}{2} + 11}{6} \] \[ = \frac{(24 \cos^2 x + 5 - 15 \cos^2 x + 22)}{12} \] \[ = \frac{(9 \cos^2 x + 27)}{12} \]
Теперь, подставляя максимальное значение \( \cos^2 x = \frac{1}{3} \): \[ a_{max} = \frac{9 \cdot \frac{1}{3} + 27}{12} = \frac{3 + 27}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \]
Таким образом, при \( \cos^2 x = 0 \): \[ a_{min} = \frac{9 \cdot 0 + 27}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \]
Таким образом, \( a \) находится в диапазоне: \[ \frac{9}{4} \leq a \leq \frac{5}{2} \]
Следовательно, все значения параметра \( a \), при каждом из которых система уравнений имеет хотя бы одно решение, находятся в интервале: \[ a \in \left[\frac{9}{4}, \frac{5}{2}\right] \]
