Тіктөртбұрыштың периметрі 28 см, ал диоганалі 10см. Тіктөртбұрыштың қабырғаларын теңдеулер жүйесін құрып табыңыз
Для решения задачи, давайте обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \). Из условия нам известны следующие информации:
Периметр прямоугольника: \[ 2(a + b) = 28 \] Отсюда можно выразить сумму сторон: \[ a + b = 14 \quad (1) \]
Диагональ прямоугольника равна 10 см, и по теореме Пифагора мы имеем: \[ a^2 + b^2 = 10^2 \] Это упрощается до: \[ a^2 + b^2 = 100 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[ \begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases} \]
Теперь мы можем решить эту систему.
Из уравнения (1) выразим одно из переменных, например \( b \): \[ b = 14 - a \]
Подставим это значение в уравнение (2): \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100 \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100 \] \[ 2a^2 - 28a + 196 = 100 \]
Соберем все в одном уравнении и упростим: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0 \]
Поделим всё на 2: \[ a^2 - 14a + 48 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4 \]
Так как дискриминант положительный, у нас два решения: \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2} \] Это дает нам: \[ a_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad и \quad a_2 = \frac{12}{2} = 6 \]
Теперь подставим найденные значения \( a \) обратно в выражение для \( b \):
- Если \( a = 8 \), то \( b = 14 - 8 = 6 \).
- Если \( a = 6 \), то \( b = 14 - 6 = 8 \).
Таким образом, стороны прямоугольника: \( 6 \) см и \( 8 \) см.
Ответ: стороны прямоугольника — 6 см и 8 см.
