Четырехугольник ABCD -квадрат.найдите угол, между вектора CA И AD

Чтобы найти угол между векторами \( \vec{CA} \) и \( \vec{AD} \) в квадрате ABCD, начнем с определения координат вершин квадрата.

Предположим, что:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(1, 0) \)
• \( C(1, 1) \)
• \( D(0, 1) \)

Теперь найдем векторы \( \vec{CA} \) и \( \vec{AD} \):

1. Вектор \( \vec{CA} \) можно определить как: \[ \vec{CA} = A - C = (0, 0) - (1, 1) = (-1, -1) \]

2. Вектор \( \vec{AD} \): \[ \vec{AD} = D - A = (0, 1) - (0, 0) = (0, 1) \]

Теперь, чтобы найти угол между векторами \( \vec{CA} \) и \( \vec{AD} \), мы можем использовать формулу для определения косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{AD}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{AD}|} \]

Сначала найдем скалярное произведение \( \vec{CA} \cdot \vec{AD} \): \[ \vec{CA} \cdot \vec{AD} = (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1 \]

Теперь найдем длины векторов:

• Длина \( |\vec{CA}| \): \[ |\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \]

• Длина \( |\vec{AD}| \): \[ |\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \]

Теперь подставим всё в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь найдем угол \( \theta \): \[ \theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ \]

Таким образом, угол между векторами \( \vec{CA} \) и \( \vec{AD} \) равен \( 135^\circ \).