Даны координаты точек A(1;-1;-4) B(C(-1;2;5) D(2;-3;1) Найдите косинус угла между векторами AB и CD

Чтобы найти косинус угла между векторами AB и CD, сначала необходимо определить координаты этих векторов.

1. Найдём вектор AB: Вектор AB можно вычислить, вычитая координаты точки A из координат точки B: \[ \mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = C(-1; 2; 5) - A(1; -1; -4) = (-1 - 1; 2 - (-1); 5 - (-4)) = (-2; 3; 9). \]

2. Найдём вектор CD: Аналогичным образом вычислим вектор CD: \[ \mathbf{CD} = \mathbf{D} - \mathbf{C} = D(2; -3; 1) - C(-1; 2; 5) = (2 - (-1); -3 - 2; 1 - 5) = (3; -5; -4). \]

3. Найдём скалярное произведение векторов AB и CD: Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{u} = (u_1; u_2; u_3)\) и \(\mathbf{v} = (v_1; v_2; v_3)\) рассчитывается как: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3. \] Подставим значения векторов AB и CD: \[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD} = (-2) \cdot 3 + 3 \cdot (-5) + 9 \cdot (-4) = -6 - 15 - 36 = -57. \]

4. Найдём длины векторов AB и CD: Длина вектора \(\mathbf{u}\) рассчитывается по формуле: \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}. \]

   Для вектора AB: \[ ||\mathbf{AB}|| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 9 + 81} = \sqrt{94}. \]

   Для вектора CD: \[ ||\mathbf{CD}|| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50}. \]

5. Найдём косинус угла между векторами: Косинус угла \(\theta\) между векторами можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{CD}}{||\mathbf{AB}|| \cdot ||\mathbf{CD}||}. \] Подставим полученные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{-57}{\sqrt{94} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-57}{\sqrt{4700}}. \]

Таким образом, косинус угла между векторами AB и CD равен \(\frac{-57}{\sqrt{4700}}\).