Докажите что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскости

Чтобы доказать, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость, давайте разберем этот вопрос поэтапно.

1. Определение перпендикулярности: Перпендикулярная плоскость к прямой — это такая плоскость, в каждой точке которой нормальный вектор плоскости образует прямой угол с направляющим вектором прямой.

2. Обозначим элементы: Пусть у вас есть прямая \( l \) и точка \( A \), которая лежит на этой прямой. Прямая может быть задана своим направляющим вектором \( \vec{d} \).

3. Условие существования плоскости: Чтобы провести плоскость, необходимо выбрать нормальный вектор к этой плоскости. Как мы знаем, в трёхмерном пространстве для любой прямой существует множество векторов, которые могут быть перпендикулярны указанному направляющему вектору. Однако плоскость задается не одним вектором, а семейством векторов.

4. Выбор нормального вектора: Если мы выберем любой вектор \( \vec{n} \), который перпендикулярен \( \vec{d} \), то мы можем определить плоскость через точку \( A \) с помощью уравнения:

   \[ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A}) = 0 \]

   где \( \vec{r} \) — это произвольный вектор, задающий точку на плоскости.

5. Уникальность плоскости: Однако, через данную точку прямой существует лишь одна плоскость, перпендикулярная ей, если у нас есть фиксированный нормальный вектор. Это потому, что в пространстве может существовать множество направлений, которые будут перпендикулярны — но каждое из этих направлений будет недостаточно для определения уникальной плоскости.

6. Вывод: Следовательно, через данную точку \( A \) можно провести одну и только одну плоскость, которая будет перпендикулярна прямой \( l \).

Это и есть доказательство, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.