Сторона основания правильной прямоугольной пирамиды равна 12 см, а длина сечения, соединяющего вершину пирамиды с центром основания 16 см. Найдите а) боковое ребро и апофему б) площадь боковой поверхности в) площадь полной поверхности пирамиды.
Чтобы решить задачу о правильной прямоугольной пирамиде, начнём с необходимой информации.
Известные данные:
- Сторона основания (a) = 12 см.
- Длина сечения, соединяющего вершину пирамиды с центром основания (h) = 16 см.
Нахождение бокового ребра и апофемы:
Боковое ребро (OB) можно определить по теореме Пифагора. Для этого нужно найти расстояние от центра основания до угла основания (R):
\[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \, \text{см}. \]
Теперь, зная h и R, можем вычислить боковое ребро (L):
\[ L = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{16^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{256 + 72} = \sqrt{328} \approx 18,11 \, \text{см}. \]
Апофема (s) является углом между боковым рёбером и основанием. Для этой пирамиды апофема равна:
\[ s = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{(18,11)^2 - (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{328 - 72} = \sqrt{256} = 16 \, \text{см}. \]
Площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности правильной прямоугольной пирамиды вычисляется по формуле:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{основания} \cdot s, \]
где \(P_{основания} = 4 \cdot a\) (периметр основания):
\[ P_{основания} = 4 \cdot 12 = 48 \, \text{см}. \]
Теперь, подставим значения:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 16 = 384 \, \text{см}^2. \]
Площадь полной поверхности:
Площадь полной поверхности пирамиды включает площадь основания и площадь боковой поверхности:
\[ S_{полная} = S_{основания} + S_{бок} = a^2 + S_{бок} = 12^2 + 384 = 144 + 384 = 528 \, \text{см}^2. \]
Таким образом, ответы на вопросы:
а) Боковое ребро ≈ 18,11 см, апофема = 16 см.
б) Площадь боковой поверхности = 384 см².
в) Площадь полной поверхности = 528 см².
