Найди значение функции  𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 2 + 8 𝑥 + 2 f(x)=2x 2 +8x+2 в точке минимума.

Чтобы найти значение функции

\( f(x) = 2x^2 + 8x + 2 \)

в точке минимума, сначала нужно определить, где эта функция достигает своего минимума. Поскольку это квадратная функция, ее график представляет собой параболу, открывающуюся вверх (ведущая коэффициент 2 положителен).

Минимум квадратной функции можно найти, используя формулу для координаты вершины параболы. Координата \( x \) вершины (где достигается минимум) вычисляется по формуле:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

где \( a \) — коэффициент при \( x^2 \) (в нашем случае \( a = 2 \)), а \( b \) — коэффициент при \( x \) (в нашем случае \( b = 8 \)).

Подставим значения:

\[ x = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2 \]

Теперь мы знаем, что минимум функции \( f(x) \) достигается при \( x = -2 \). Подставим это значение обратно в уравнение функции, чтобы найти \( f(-2) \):

\[ f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 \]

Посчитаем:

1. \( 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8 \)
2. \( 8(-2) = -16 \)
3. \( 2 = 2 \)

Теперь подставим эти значения:

\[ f(-2) = 8 - 16 + 2 = -6 \]

Таким образом, значение функции в точке минимума составляет

\[ \boxed{-6}. \]