Найди значение функции 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 − 3 𝑥 + 3 f(x)=x 3 −3x+3 в точке максимума.
Чтобы найти значение функции \( f(x) = x^3 - 3x + 3 \) в точке максимума, сначала необходимо определить, где эта точка находится. Для этого мы найдем производную функции и решим уравнение, приравняв производную к нулю.
Найдем первую производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]
Приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Теперь у нас есть два кандидата на точки максимума: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Чтобы определить, является ли каждая из этих точек максимумом или минимумом, вычислим вторую производную:
- Найдем вторую производную функции: \[ f''(x) = 6x \]
Теперь подставим найденные значения \( x \):
Для \( x = 1 \): \[ f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 \quad (> 0) \quad \text{(точка минимума)} \]
Для \( x = -1 \): \[ f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 \quad (< 0) \quad \text{(точка максимума)} \]
Таким образом, точка максимума у нас находится в \( x = -1 \).
- Теперь найдем значение функции в этой точке максимума: \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 \] \[ = -1 + 3 + 3 \] \[ = 5 \]
Итак, значение функции \( f(x) = x^3 - 3x + 3 \) в точке максимума \( x = -1 \) равно 5.
