Даны различные действительные числа а и b. Верно ли, что хотя бы одно из уравнений (х+a) (x+b) = x-a и (x-a)(a-b) = x+b имеет решение
Рассмотрим оба уравнения, чтобы определить, истинно ли утверждение, что хотя бы одно из них имеет решение при любых действительных числах \(a\) и \(b\).
Первое уравнение: \((x+a)(x+b) = x-a\)
Раскроем левую часть: \[ x^2 + (a+b)x + ab = x - a \] Перепишем уравнение: \[ x^2 + (a+b-1)x + (ab + a) = 0 \] Это квадратное уравнение, и оно имеет решение, если дискриминант неотрицательный: \[ D = (a+b-1)^2 - 4(ab+a) \geq 0 \]
Второе уравнение: \((x-a)(a-b) = x+b\)
Раскроем левую часть: \[ (x-a)(a-b) = x \cdot (a-b) - a(a-b) = xa - xb - a^2 + ab \] Приведем к виду: \[ xa - xb - a^2 + ab = x + b \] Перепишем уравнение: \[ (a-b)x - (a^2 - ab + b) = 0 \] Это также линейное уравнение и его решение существует, если \(a \neq b\) (т.е., если коэффициент перед \(x\) не равен нулю). Если \(a = b\), то рассматриваем два случая: \(x\) может принимать разные значения в зависимости от значений \(a\) и \(b\).
Теперь, чтобы сделать общее заключение о том, существует ли хотя бы одно решение, мы можем использовать:
- Если \( a \neq b \), то второе уравнение всегда имеет решение, так как это линейное уравнение.
- Если \( a = b \), тогда проверяем первое уравнение. Нужно проанализировать, может ли оно иметь решение, и как уже показали, при равенстве \(a\) и \(b\) на первое уравнение, если дискриминант положителен или нулевой, также можно найти действительные значения \(x\).
Сделаем вывод: хотя бы одно из данных уравнений \((x+a)(x+b) = x-a\) или \((x-a)(a-b) = x+b\) имеет решения.
