В единичном кубе АВСД а1в1с1д1. Диагонали грани АВСД пересекаются в точке N, в точка лежит на ребре А1Д1, причём А1М:МД1=3:1, диагонали грани ВСС1В1перемекаются в точке R, a точка…

Давайте рассмотрим вашу задачу поэтапно.

1. Определение координат точек:

   • Пусть единичный куб имеет следующие координаты:
     • \( A(0, 0, 0) \)
     • \( B(1, 0, 0) \)
     • \( C(1, 1, 0) \)
     • \( D(0, 1, 0) \)
     • \( A_1(0, 0, 1) \)
     • \( B_1(1, 0, 1) \)
     • \( C_1(1, 1, 1) \)
     • \( D_1(0, 1, 1) \)

2. Положение точки N:

   • Диагонали грани ABCD пересекаются в точке \( N \), которая находится в центре этой грани. Координаты точки \( N \): \[ N\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, 0\right) = N\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \]

3. Положение точки M:

   • Точка \( M \) делит отрезок \( A_1D_1 \) в отношении \( 3:1 \). Координаты отрезка \( A_1D_1 \):
     • \( A_1(0, 0, 1) \)
     • \( D_1(0, 1, 1) \)

   Теперь находим координаты точки \( M \): \[ M\left(0, \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 0}{3 + 1}, 1\right) = M\left(0, \frac{3}{4}, 1\right) \]

4. Положение точки R:

   • Точки V и C находятся на грани BCC1B1. Диагонали этой грани также пересекаются в центре, поэтому координаты точки \( R \): \[ R\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, 1\right) = R\left(1, \frac{1}{2}, 1\right) \]

5. Определение векторов:

   • Вектор \( \overrightarrow{AA_1} = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{B_1R} = (1, \frac{1}{2}, 1) - (1, 0, 1) = (0, \frac{1}{2}, 0) \)

6. Косинус угла между векторами:

   • Используем формулу: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{B_1R}}{|\overrightarrow{AA_1}| |\overrightarrow{B_1R}|} \]

   • Сначала находим скалярное произведение: \[ \overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{B_1R} = (0, 0, 1) \cdot (0, \frac{1}{2}, 0) = 0 \]

   • Модули векторов: \[ |\overrightarrow{AA_1}| = 1 \] \[ |\overrightarrow{B_1R}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{1}{2} \]

   Значит: \[ \cos \theta = \frac{0}{1 \cdot \frac{1}{2}} = 0 \]

Таким образом, угол \( \theta \) между векторами \( AA_1 \) и \( B_1R \) равен \( 90^\circ \).

Угловой косинус равен \( 0 \), что соответствует углу в \( 90^\circ \).