Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:
Верно. Манифест, о котором идет речь, действительно был издан в период правления Екатерины II и касался основания ассигнационных банков и выпуска бумажных денег.
Неверно. Инициатором появления российских бумажных денег считается не Алексей Шенн, а другие лица, например, граф В. Н. Татищев и другие министры.
Верно. За подделку бумажных денег действительно вводилась смертная казнь, и в редких случаях это могло быть заменено вечной каторгой.
Неверно. Бумажная ассигнация не служила квитанцией об оплате особой пошлины на ношение бороды. Это утверждение неточно и не соответствует историческим фактам.
Верно. Ассигнации действительно не пользовались большой популярностью из-за их недостаточной защищенности и обесценивания, вызванного военными расходами.
Неверно. На сегодняшний день сохранились некоторые образцы ассигнаций эпохи Екатерины II, хоть и в небольшом количестве.
Таким образом, правильные утверждения: 1, 3 и 5.
Ответ: 1, 3, 5.