Сколько положительных целочисленных решений имеет неравенство (х-5)²(х-7)<0
Для решения неравенства \((x - 5)^2 (x - 7) < 0\) необходимо сначала определить, при каких значениях \(x\) это неравенство выполняется.
Находим корни: Для того чтобы понять, где выражение меняет знак, найдем корни уравнения: \[ (x - 5)^2 (x - 7) = 0 \] Это уравнение имеет два корня: \(x = 5\) (с учетом квадратного корня) и \(x = 7\).
Анализируем интервал: Теперь рассмотрим интервалы, образованные корнями. У нас есть три интервала:
- \( (-\infty, 5) \)
- \( (5, 7) \)
- \( (7, +\infty) \)
Определим знак выражения в каждом интервале:
- В интервале \( (-\infty, 5) \) выберем точку, например, \(x = 0\): \[ (0 - 5)^2 (0 - 7) = 25 \cdot (-7) < 0 \quad \text{(отрицательное)} \]
- В интервале \( (5, 7) \) выберем точку, например, \(x = 6\): \[ (6 - 5)^2 (6 - 7) = 1 \cdot (-1) < 0 \quad \text{(отрицательное)} \]
- В интервале \( (7, +\infty) \) выберем точку, например, \(x = 8\): \[ (8 - 5)^2 (8 - 7) = 9 \cdot 1 > 0 \quad \text{(положительное)} \]
Итоговая проверка: Теперь мы можем сделать вывод, что неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty, 5) \cup (5, 7) \]
Поиск положительных целочисленных решений: Положительные целые числа в интервалах:
- В интервале \( (-\infty, 5) \) положительные целые числа: \(1, 2, 3, 4\) (всего 4 решения).
- В интервале \( (5, 7) \) положительное целое число: \(6\) (1 решение).
Таким образом, положительные целочисленные решения неравенства \( (x - 5)^2 (x - 7) < 0 \) составляют \(1, 2, 3, 4, 6\).
Ответ: Всего 5 положительных целочисленных решений.
