Найти объем y=3x y=3x

Чтобы найти объем тела, образованного кривой \( y = 3x \) при вращении вокруг оси абсцисс, можно использовать метод дисков или цилиндров.

1. Определим границы интегрирования: Для примера, давайте предположим, что вы вращаете эту кривую от \( x = a \) до \( x = b \).

2. Формула для объема: Объем \( V \) при вращении кривой \( y = f(x) \) вокруг оси абсцисс от \( x = a \) до \( x = b \) вычисляется по формуле: \[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \]

В нашем случае \( f(x) = 3x \), тогда: \[ V = \pi \int_a^b (3x)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_a^b 9x^2 \, dx \]

3. Вычислим интеграл: \[ V = 9\pi \int_a^b x^2 \, dx \] Зная, что \(\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}\), получаем: \[ V = 9\pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_a^b \] \[ V = 3\pi \left[ b^3 - a^3 \right] \]

Таким образом, объем тела, образованного вращением кривой \( y = 3x \) от \( x = a \) до \( x = b \) вокруг оси абсцисс, равен: \[ V = 3\pi (b^3 - a^3) \]

Если у вас есть конкретные значения для \( a \) и \( b \), вы можете подставить их в формулу для получения численного значения объема.