X⁴-24x²-25=0

Давайте решим уравнение \( x^4 - 24x^2 - 25 = 0 \). Это уравнение является многомерным и поддается замене переменной, что значительно упростит решение.

1. Замена переменной: Обозначим \( y = x^2 \). Следовательно, \( x^4 = y^2 \). Теперь уравнение можно переписать в следующем виде: \[ y^2 - 24y - 25 = 0 \]

2. Решим квадратное уравнение: Для решения применим формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -24, c = -25 \).

   Подставим значения: \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2} \] \[ y = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} \] \[ y = \frac{24 \pm 26}{2} \]

   Теперь найдём два значения: \[ y_1 = \frac{50}{2} = 25 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

3. Возвращение к переменной \( x \): Напомним, что \( y = x^2 \). Поэтому у нас есть два случая:

   • Для \( y_1 = 25 \): \[ x^2 = 25 \Rightarrow x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5 \]

   • Для \( y_2 = -1 \): \[ x^2 = -1 \Rightarrow x = i \quad \text{или} \quad x = -i \] (где \( i \) — мнимая единица)

4. Итак, окончательный ответ: \[ x = 5, \quad x = -5, \quad x = i, \quad x = -i \]

Эти решения теперь содержат как действительные, так и комплексные корни уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!