4. Найти, при каких значениях х производная равна нулю. f(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2
Чтобы найти значения \( x \), при которых производная функции равна нулю, сначала необходимо вычислить производную функции \( f(x) \).
Функция задана как:
\[ f(x) = x^3 + 2x^2 \]
Теперь найдем её производную \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) \]
Принимая производные каждого слагаемого, получаем:
\[ f'(x) = 3x^2 + 4x \]
Теперь необходимо найти, при каких значениях \( x \) производная равна нулю:
\[ 3x^2 + 4x = 0 \]
Для решения этого уравнения сначала вынесем общий множитель \( x \):
\[ x(3x + 4) = 0 \]
Это уравнение равно нулю, если либо:
- \( x = 0 \)
- \( 3x + 4 = 0 \)
Решим второе уравнение:
\[ 3x + 4 = 0 \implies 3x = -4 \implies x = -\frac{4}{3} \]
Таким образом, значения \( x \), при которых производная равна нулю, следующие:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -\frac{4}{3} \]
Эти значения означают, что в точках \( x = 0 \) и \( x = -\frac{4}{3} \) функция имеет горизонтальные касательные, что может указывать на наличие локальных максимумов или минимумов.
