Даны функции: f(x) = 2x + 4 и g(x) = x ^ 2 - 8x Найдите множество зачений х, удовлетворяющих неравенству g(f(x)) <_ 9

Для решения неравенства \( g(f(x)) \leq 9 \) начнем с нахождения \( g(f(x)) \).

1. Подставим \( f(x) \) в функцию \( g(x) \): \[ f(x) = 2x + 4 \] Теперь подставим \( f(x) \) в \( g(x) \): \[ g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)^2 - 8(2x + 4) \]

2. Теперь упростим выражение: \[ (2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16 \] \[ -8(2x + 4) = -16x - 32 \] Теперь объединяем: \[ g(f(x)) = 4x^2 + 16x + 16 - 16x - 32 = 4x^2 + 16 - 32 = 4x^2 - 16 \]

3. Мы получили: \[ g(f(x)) = 4x^2 - 16 \]

4. Теперь решим неравенство: \[ 4x^2 - 16 \leq 9 \]

5. Переносим 9 в левую часть: \[ 4x^2 - 16 - 9 \leq 0 \] \[ 4x^2 - 25 \leq 0 \]

6. Факторизуем: \[ 4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5) \]

7. Теперь решим неравенство: \[ (2x - 5)(2x + 5) \leq 0 \]

8. Находим корни неравенства: \[ 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2} = 2.5 \] \[ 2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} = -2.5 \]

9. Теперь определим знаки на интервалах: выбираем тестовые значения для интервалов:

   • Для \( x < -2.5 \) (например, \( x = -3 \)): \( (2(-3) - 5)(2(-3) + 5) > 0 \)
   • Для \( -2.5 < x < 2.5 \) (например, \( x = 0 \)): \( (2(0) - 5)(2(0) + 5) < 0 \)
   • Для \( x > 2.5 \) (например, \( x = 3 \)): \( (2(3) - 5)(2(3) + 5) > 0 \)

10. Интервал, где неравенство выполняется, — это \( -2.5 \leq x \leq 2.5 \).

Таким образом, множество значений \( x \), удовлетворяющее неравенству \( g(f(x)) \leq 9 \), будет: \[ \boxed{[-2.5, 2.5]} \]