Х^2+6х+5 больше 0

Для решения неравенства \(x^2 + 6x + 5 > 0\) начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(x^2 + 6x + 5 = 0\).

1. Применим формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\).

2. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16. \]

3. Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 4}{2}. \]

4. Находим корни:

   • \(x_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\),
   • \(x_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5\).

Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -5\).

5. Чтобы решить неравенство \(x^2 + 6x + 5 > 0\), проанализируем интервалы, определённые корнями. Рассмотрим три интервала:

   • \(x < -5\)
   • \(-5 < x < -1\)
   • \(x > -1\)

6. Проверим каждый из интервалов:

   • Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \[ (-6)^2 + 6(-6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0. \]

   • Для \(-5 < x < -1\) (например, \(x = -3\)): \[ (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0. \]

   • Для \(x > -1\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 + 6(0) + 5 = 5 > 0. \]

Таким образом, неравенство \(x^2 + 6x + 5 > 0\) выполняется на интервалах:

\[ x < -5 \quad \text{и} \quad x > -1. \]

Ваша окончательная запись решения будет: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (-1, +\infty). \]