X²+6x+5>0

Чтобы решить неравенство \(x^2 + 6x + 5 > 0\), начнем с нахождения корней уравнения \(x^2 + 6x + 5 = 0\).

1. Найдем корни уравнения. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\): \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

2. Теперь найдем корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Корни уравнения: \(x_1 = -5\) и \(x_2 = -1\).

3. Теперь определим знаки квадратичной функции. Мы знаем, что парабола открыта вверх (поскольку коэффициент перед \(x^2\) положителен) и имеет корни в \(-5\) и \(-1\).

Рассмотрим распределение знаков:

• При \(x < -5\), функция будет положительной (так как обе части многчлена положительные).
• На интервале \((-5, -1)\), функция принимает отрицательные значения (между корнями).
• При \(x > -1\), функция снова положительная.

4. Итак, решение неравенства \(x^2 + 6x + 5 > 0\): \[ (-\infty, -5) \cup (-1, +\infty) \]

Обобщая, неравенство выполняется для \(x < -5\) и \(x > -1\). Если нужны дополнительные разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!