2x²+32x+128>0

Чтобы решить неравенство \(2x² + 32x + 128 > 0\), начнем с анализа соответствующего квадратного уравнения \(2x² + 32x + 128 = 0\).

1. Упростим уравнение: Для удобства можно разделить все члены на 2: \[ x² + 16x + 64 = 0 \]

2. Найдем дискриминант: Дискриминант \(D\) квадратного уравнения вычисляется по формуле: \[ D = b² - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = 16\), \(c = 64\). Подставим значения: \[ D = 16² - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 - 256 = 0 \]

3. Определим корни уравнения: Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один двойной корень, который можно найти с помощью формулы: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-16}{2 \cdot 1} = -8 \]

4. Анализируем неравенство: Двойной корень указывает на то, что парабола касается оси \(x\) в точке \(x = -8\), но не пересекает её, так как коэффициент при \(x²\) положительный (функция открыта вверх).

5. Вывод: Таким образом, \(2x² + 32x + 128 > 0\) для всех \(x\), кроме точки \(x = -8\). То есть, неравенство выполняется для всех \(x\) из множества: \[ x \in (-\infty, -8) \cup (-8, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!