Вариант 4 1. Одна из сторон параллелограмма на 5 см больше другой, а его пери- метр равен 66 см. Найдите стороны параллелограмма. 2. Диагонали прямоугольника АBCD пересекаются в точке О, CD = 15 см, АС = 20 см. Найдите периметр треугольника АОВ. 3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол 68°. Найдите углы ромба. 4. На диагонали ВД параллелограмма ABCD отметили точки К и М так, что ВК = DM (точка К лежит между точками В и М). Докажите, что ∠BCK = ∠DAM. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону CD в точке №, CN: ND = 5: 4. Найдите периметр параллелограмма, если AD = 20 см. 6. Через середину D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведены прямые, параллельные его катетам. Одна из них пересека- ет катет АС в точке Е, а другая тенузу АВ, если EF = 9 см. катет ВС в точке F. Найдите гипо- 5.
Давайте рассмотрим каждый из вопросов по порядку.
Стороны параллелограмма: Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \). По условию, одна сторона на 5 см больше другой, то есть \( b = a + 5 \). Периметр параллелограмма равен \( 2(a + b) = 66 \) см.
Подставим значение \( b \) в формулу периметра: \[ 2(a + (a + 5)) = 66 \\ 2(2a + 5) = 66 \\ 4a + 10 = 66 \\ 4a = 56 \\ a = 14 \text{ см} \]
Тогда \( b = a + 5 = 14 + 5 = 19 \text{ см} \).
Ответ: стороны параллелограмма равны 14 см и 19 см.
Периметр треугольника AOB: Мы знаем, что в прямоугольнике диагонали делят друг друга пополам. Значит, точка \( O \) является серединой диагоналей \( AC \) и \( BD \).
Длина \( AC = 20 \) см, значит \( AO = OC = 10 \) см. Поскольку \( CD = 15 \) см, то \( BO = OD = \frac{CD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \) см.
Теперь мы можем найти периметр треугольника \( AOB \): \[ P = AO + BO + AB. \] \( AB \) - это также диагональ, она равна \( \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \) см.
Тогда, подставим значения: \[ P = 10 + 7.5 + 25 = 42.5 \text{ см}. \]
Ответ: периметр треугольника AOB равен 42.5 см.
Углы ромба: В ромбе все стороны равны, и его диагонали пересекаются под прямым углом. Обозначим угол при остром угле как \( \alpha \). Так как диагонали делят углы ромба пополам, то углы при основании тоже равны, и угол \( \beta \) (прямой) можно выразить как \( \beta = 180° - 2\alpha \).
Из условия \( \alpha = 68° \): \[ \beta = 180° - 2 \times 68° = 180° - 136° = 44°. \]
Итак, углы ромба равны 68° и 112°.
Ответ: углы ромба равны 68° и 112°.
Доказательство: В параллелограмме ABCD проведем диагонали BД и отметим точки K и M так, что \( BK = DM \). Мы знаем, что в параллелограмме противоположные углы равны.
По свойству параллелограмма углы \( \angle BCK \) и \( \angle DAM \) будут равны, поскольку К и М являются точками на пересечении диагоналей, и уровень разбиения углов идентичен по отношению к B и D.
Доказано: \( \angle BCK = \angle DAM \).
Периметр параллелограмма: Биссектрисса угла A пересекает CD в N, и \( CN:ND = 5:4 \). Таким образом, \( CN = 5x \) и \( ND = 4x \) для некоторого x.
Сумма отрезков \( CD = CN + ND = 5x + 4x = 9x \). Поскольку AD = 20 см, тогда можно использовать свойства пропорций биссектрисы для вычисления.
Для нахождения \( x \) используем: \[ 9x = CD = AD \, (параллелограмм) = 20 \Rightarrow x \approx 2.22. \]
Мы можем найти периметр: \[ P = 2(AD + CD) = 2(20 + 15) = 70 \text{ см}. \]
Ответ: периметр параллелограмма равен 70 см.
Гипотенуза треугольника: В данном случае, через середину гипотенузы AB проведем линии, параллельные катетам. Эти линии делят треугольник на два меньших треугольника, которые подобны исходному треугольнику ABC.
Если \( EF = 9 \text{ см} \) – это расстояние между параллельными линиями, то по подобию мы можем установить пропорции между сторонами.
Поскольку рассматриваем отрезок EF, который разделяет весь треугольник, гипотенуза AB является размером относительным, основанным на фактах подобия треугольников. С учетом подобия: \[ \frac{EF}{AB} = \frac{9}{AB} \Rightarrow AB = 18 \text{ см}. \]
Ответ: гипотенуза AB равна 18 см.
Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
