Найдите наибольшее и наименьшее значение: y=2x³+3x²-36 [-2; 1]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = 2x^3 + 3x^2 - 36 \) на отрезке \([-2, 1]\), нам нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции для нахождения критических точек: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36) = 6x^2 + 6x \] Упрощаем: \[ y' = 6x(x + 1) \]
Найти нули производной: Уравнение \(6x(x + 1) = 0\) имеет корни: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -1 \]
Определить значения функции в критических точках и на границах интервала: Мы будем подставлять значения \(x = -2\), \(x = -1\), \(x = 0\) и \(x = 1\) в исходное уравнение.
Для \(x = -2\): \[ y(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 36 = 2(-8) + 3(4) - 36 = -16 + 12 - 36 = -40 \]
Для \(x = -1\): \[ y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 36 = 2(-1) + 3(1) - 36 = -2 + 3 - 36 = -35 \]
Для \(x = 0\): \[ y(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 36 = -36 \]
Для \(x = 1\): \[ y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 36 = 2 + 3 - 36 = -31 \]
Сравнить значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее:
- \(y(-2) = -40\)
- \(y(-1) = -35\)
- \(y(0) = -36\)
- \(y(1) = -31\)
Наибольшее значение на отрезке \([-2, 1]\) равно \(-31\) при \(x = 1\), а наименьшее значение равно \(-40\) при \(x = -2\).
Итак, итоговые результаты:
- Наибольшее значение: \(-31\)
- Наименьшее значение: \(-40\)
