Найти экстремулы функции и монотонность: y=x³+6x²+9x
Чтобы найти экстремумы функции \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \) и проанализировать её монотонность, необходимо выполнить несколько шагов.
Нахождение производной функции: Сначала найдем первую производную функции, чтобы определить критические точки, где производная равна нулю или не существует.
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 + 9x) = 3x^2 + 12x + 9 \]
Определение критических точек: Теперь решим уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 + 12x + 9 = 0 \]
Делим все члены уравнения на 3:
\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
Для решения используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:
\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \]
Определение знака производной и монотонности: Теперь проверим знак производной на интервалах, разделённых критическими точками \( x = -3 \) и \( x = -1 \):
Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ y'(-4) = 3(-4)^2 + 12(-4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 \implies \text{функция возрастает} \]
Для \( -3 < x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 \implies \text{функция убывает} \]
Для \( x > -1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 9 = 9 > 0 \implies \text{функция возрастает} \]
Таким образом, функция \( y = x^3 + 6x^2 + 9x \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (-1, +\infty) \) и убывает на интервале \( (-3, -1) \).
- Определение экстремумов:
- В точке \( x = -3 \) функция имеет локальный максимум, так как производная меняет знак с положительного на отрицательное.
- В точке \( x = -1 \) функция имеет локальный минимум, так как производная меняет знак с отрицательного на положительное.
Итак, мы нашли экстремумы функции и проанализировали её монотонность. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
