В треугольнике АВС угол А=45°, угол В=60°, ВС=6. Найдите АС и площадь треугольника

Давайте решим задачу по треугольнику ABC, где угол A = 45°, угол B = 60° и сторона BC = 6.

1. Сначала находим угол C: Углы треугольника в сумме дают 180°. Угол C = 180° - ( угол A + угол B ) = 180° - (45° + 60°) = 180° - 105° = 75°.

2. Используем закон синусов, чтобы найти стороны AC и AB. По закону синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где \(a\), \(b\), и \(c\) — стороны, расположенные напротив углов A, B и C соответственно. В нашем случае:

   • \(BC = a = 6\)
   • \(A = 45°\)
   • \(B = 60°\)
   • \(C = 75°\)

   При использовании формулы находим стороны AC (обозначим ее b): \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{6}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°} \] Мы знаем, что \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляем эти значения: \[ \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Упрощаем: \[ 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] Получаем: \[ \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot AC}{\sqrt{3}} \] Умножаем обе стороны на \(\sqrt{3}\): \[ 12\sqrt{3} = 2AC\sqrt{2} \] Разделим обе стороны на \(2\sqrt{2}\): \[ AC = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{\frac{3}{2}} = 3\sqrt{6} \]

3. Теперь найдем сторону AB (обозначим ее c): Используем закон синусов снова: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \] Тоже подставляем: \[ \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\sin 75°} \] Зная, что \(\sin 75° = \sin (45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\) \(\sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

   Подставляем в уравнение: \[ \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Упрощаем: \[ 12\sqrt{2} = \frac{4 \cdot AB}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Умножаем обе стороны на \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\): \[ 12\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 4AB \] Делим на 4: \[ AB = 3\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 3(2 + \sqrt{12}) = 6 + 3\sqrt{12} = 6 + 6\sqrt{3} \]

4. Теперь мы можем найти площадь треугольника с помощью формулы: \[ S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin A \] Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Упрощаем: \[ S = 9\sqrt{12} = 18\sqrt{3} \]

Таким образом, стороны AC и AB равны:

• AC = \(3\sqrt{6}\)
• AB = \(6 + 6\sqrt{3}\)

Площадь треугольника равна \(18\sqrt{3}\).