Найти решение уравнения tg (x-p/3) = корень 3 на отрезке [-3p/2; p]

Для решения уравнения \(\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\) сначала найдем, при каких значениях угла тангенс равен \(\sqrt{3}\).

Мы знаем, что: \[ \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \] Тангенс повторяется с периодом \(\pi\), поэтому общее решение будет иметь вид: \[ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Из этого уравнения мы можем выразить \(x\): \[ x = \frac{\pi}{3} + k\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + k\pi \] \[ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \]

Теперь нам нужно найти значения \(x\) в заданном интервале \([- \frac{3\pi}{2}; \pi]\).

При \(k = -2\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \] (-\(\frac{4\pi}{3}\) попадает в интервал)

При \(k = -1\): \[ x = \frac{2\pi}{3} - \pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} \] (-\(\frac{\pi}{3}\) попадает в интервал)

При \(k = 0\): \[ x = \frac{2\pi}{3} \] (-\(\frac{2\pi}{3}\) попадает в интервал)

При \(k = 1\): \[ x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \] (-\(\frac{5\pi}{3}\) не попадает в интервал)

Итак, решения уравнения \(\tan\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\) на отрезке \([- \frac{3\pi}{2}; \pi]\) будут: \[ x = -\frac{4\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{2\pi}{3} \]