Даны векторы а ( -9; 4;-7) и b ( 7;2-1) . Определи, какой угол образовал этими векторами Прямой угол Тупой угол Острый угол
Чтобы определить угол между векторами \( \mathbf{a} = (-9, 4, -7) \) и \( \mathbf{b} = (7, 2, -1) \), мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}||} \]
где:
- \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \),
- \( ||\mathbf{a}|| \) и \( ||\mathbf{b}|| \) — нормы (длиต้น) векторов.
Шаг 1: Найдём скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \)
Скалярное произведение рассчитывается по формуле:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]
Подставим значения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (-9) \cdot 7 + 4 \cdot 2 + (-7) \cdot (-1) = -63 + 8 + 7 = -48 \]
Шаг 2: Найдём нормы \( ||\mathbf{a}|| \) и \( ||\mathbf{b}|| \)
Для нормы вектора используется формула:
\[ ||\mathbf{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]
\[ ||\mathbf{b}|| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \]
Вычислим нормы:
\[ ||\mathbf{a}|| = \sqrt{(-9)^2 + 4^2 + (-7)^2} = \sqrt{81 + 16 + 49} = \sqrt{146} \]
\[ ||\mathbf{b}|| = \sqrt{7^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 4 + 1} = \sqrt{54} \]
Шаг 3: Подставим значения в формулу для косинуса
\[ \cos \theta = \frac{-48}{\sqrt{146} \cdot \sqrt{54}} \]
Теперь посчитаем произведение норм:
\[ \sqrt{146} \cdot \sqrt{54} = \sqrt{146 \cdot 54} \]
Рассчитаем:
\[ \cos \theta = \frac{-48}{\sqrt{146 \cdot 54}} \]
Сигнал косинуса:
- Если \( \cos \theta > 0 \), то угол острый (менее 90°).
- Если \( \cos \theta = 0 \), то угол прямой (равен 90°).
- Если \( \cos \theta < 0 \), то угол тупой (больше 90°).
В нашем случае \( \cos \theta < 0\), следовательно, угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) является тупым.
Ответ: угол является тупым.
