написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 f(x)=1/x,x0=3
Для нахождения уравнения касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x_0 \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти значение функции в точке \( x_0 \). Для данной функции:
\[ f(x) = \frac{1}{x} \]
подставим \( x_0 = 3 \):
\[ f(3) = \frac{1}{3} \]
Найти производную функции. Производная \( f'(x) \) показывает наклон касательной. Для функции \( f(x) = \frac{1}{x} \) производная выглядит так:
\[ f'(x) = -\frac{1}{x^2} \]
Подставим \( x_0 = 3 \):
\[ f'(3) = -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9} \]
Составить уравнение касательной. Уравнение касательной можно записать в виде:
\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]
Подставим известные значения:
\[ y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{9}(x - 3) \]
Упростим это уравнение. Сначала умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дробей:
\[ 9y - 3 = -1(x - 3) \]
Раскроем скобки:
\[ 9y - 3 = -x + 3 \]
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\[ 9y + x - 6 = 0 \]
Или можно записать уравнение в более привычной форме:
\[ x + 9y - 6 = 0 \]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( y = \frac{1}{x} \) в точке с абсциссой \( x_0 = 3 \) имеет вид:
\[ x + 9y - 6 = 0 \]
