кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между скрещивающимися прямыми ВВ1 и АС. (1балл)
Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми BB1 и AC в кубе ABCDA1B1C1D1, нам сначала нужно определить их векторы.
Определим координаты вершин куба:
- A(0, 0, 0)
- B(1, 0, 0)
- C(1, 1, 0)
- D(0, 1, 0)
- A1(0, 0, 1)
- B1(1, 0, 1)
- C1(1, 1, 1)
- D1(0, 1, 1)
Вектор BB1:
- Вектор BB1 можно найти по координатам точек B и B1: \[ BB1 = B1 - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1) \]
Вектор AC:
- Вектор AC можно найти по координатам точек A и C: \[ AC = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0) \]
Найдём угол между векторами: Угол между двумя векторами можно найти с использованием формулы для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \] где \( a \) и \( b \) — векторы, \( a \cdot b \) — скалярное произведение векторов, а \( |a| \) и \( |b| \) — их длины.
Сначала находим скалярное произведение BB1 и AC: \[ BB1 \cdot AC = (0, 0, 1) \cdot (1, 1, 0) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 \]
Теперь найдём длины векторов: \[ |BB1| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] \[ |AC| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]
Подставим в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{0}{1 \cdot \sqrt{2}} = 0 \]
Найдём угол: Если \(\cos \theta = 0\), это означает, что угол \(\theta\) равен \(90^\circ\).
Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми BB1 и AC равен \(90^\circ\).
