Составить уравнение плоскости: а) проходящей через ось Оу и точку М (-2; 8; 6); б) перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку А (-4; 2; 8); в) параллельной оси Oz и проходящей через точки М (7; 2; 6) и N (-9; -7; -4).

Для составления уравнений плоскостей в предложенных случаях, воспользуемся общим уравнением плоскости в пространстве, которое имеет вид:

\(Ax + By + Cz + D = 0\),

где \(A\), \(B\), \(C\) — коэффициенты, определяющие нормальный вектор плоскости, а \(D\) — свободный член.

a) Плоскость, проходящая через ось OY и точку M(-2, 8, 6).

Плоскость, проходящая через ось OY, будет иметь нормальный вектор, который не имеет компоненты по оси OY. То есть, вектор нормали будет иметь вид \((A, 0, C)\).

Пусть нормальный вектор \((A, 0, C)\). Разграничим уравнение плоскости через точку M(-2, 8, 6):

\(A(-2) + 0(8) + C(6) + D = 0\).

Таким образом, уравнение примет вид:

\(-2A + 6C + D = 0\).

Поскольку плоскость проходит через ось OY, мы можем взять, например, \(A = 1\) и \(C = 0\), тогда уравнение станет:

\(-2 + D = 0 \Rightarrow D = 2\).

Итак, одно из возможных уравнений:

\(x + 2 = 0\) или \(x = -2\) (что указывает на вертикальную плоскость, проходящую через точку M).

б) Плоскость, перпендикулярная оси OX и проходящая через точку A(-4, 2, 8).

Если плоскость перпендикулярна оси OX, то вектор нормали будет иметь вид \((1, 0, 0)\). В таком случае уравнение принимает такой вид:

\(1(x + 4) + 0(y - 2) + 0(z - 8) + D = 0\).

Тогда, подставляя координаты точки A в выражение, получим:

\((x + 4 = 0)\).

Таким образом, уравнение плоскости:

\(x + 4 = 0\) или \(x = -4\).

в) Плоскость, параллельная оси OZ и проходящая через точки M(7, 2, 6) и N(-9, -7, -4).

Плоскость, параллельная оси OZ, будет иметь нормальный вектор, который не имеет компоненты по оси Z. Нормальный вектор этой плоскости можно найти, взяв два вектора, образованные точками M и N.

Рассмотрим вектор \(MN\):

\[ MN = N - M = (-9 - 7, -7 - 2, -4 - 6) = (-16, -9, -10). \]

Плоскость затем будет иметь нормальный вектор, перпендикулярный вектору MN. Например, мы можем взять вектор нормали как \((0, 0, C)\), но также могла бы использовать другую точку, так как плоскость не может иметь определенное нормальное направление только из двух точек. В таком случае воспользуемся направлением вектора.

Если взять координаты двух точек:

\[ -16x + 9y + D = 0. \]

Для нахождения D мы используем одну из точек, например, M(7, 2, 6):

\[ -16(7) + 9(2) + D = 0. \]

Таким образом:

\[ -112 + 18 + D = 0 \Rightarrow D = 94. \]

Итак, одно из возможных уравнений плоскости, параллельной оси OZ:

\(-16x + 9y + 94 = 0\).

Это позволяет указать два разных направлений, так как два вектора указывают направление по плоскости.