Докажите что при всех значениях t выражение 6(t+1,5)/t³-27+1/3-t+t/t²+3t+9 торжественно равно нулю
Чтобы доказать, что выражение \( \frac{6(t+1.5)}{t^3 - 27} + \frac{1}{3 - t} + \frac{t}{t^2 + 3t + 9} \) равно нулю при всех значениях \( t \), начнем с упрощения и анализа каждого компонента.
Первое слагаемое: Рассмотрим \( \frac{6(t+1.5)}{t^3 - 27} \).
Напоминаем, что \( t^3 - 27 \) можно факторизовать как \( (t - 3)(t^2 + 3t + 9) \) по формуле разности кубов. Таким образом, \[ \frac{6(t+1.5)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)}. \]
Второе слагаемое: Второе слагаемое \( \frac{1}{3 - t} \) может быть переписано как \( \frac{-1}{t - 3} \).
Третье слагаемое: Третье слагаемое \( \frac{t}{t^2 + 3t + 9} \) остается как есть.
Теперь объединим все слагаемые: \[ \frac{6(t + 1.5)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} - \frac{1}{t - 3} + \frac{t}{t^2 + 3t + 9}. \]
Чтобы комбинировать эти дроби, найдем общий знаменатель, который будет \( (t - 3)(t^2 + 3t + 9) \).
Теперь перепишем дроби с общим знаменателем: \[ \frac{6(t + 1.5) - (t^2 + 3t + 9) + t(t - 3)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)}. \]
Теперь упростим числитель:
- Раскроем скобки и объединим подобные члены: \[ 6(t + 1.5) = 6t + 9, \] \[ t(t - 3) = t^2 - 3t, \] Таким образом, числитель будет: \[ 6t + 9 - (t^2 + 3t + 9) + (t^2 - 3t) = 6t + 9 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t. \]
Теперь объединим: \[ 0 = 6t - 3t - 3t + 9 - 9 = 0. \]
Таким образом, числитель равен нулю, и всё выражение становится: \[ \frac{0}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} = 0. \]
Таким образом, мы доказали, что данное выражение равно нулю при всех значениях \( t \), кроме как в точках разрыва, которые надо исключить (таких как \( t = 3 \)).
