Составить уравнение плоскости: а) проходящей через ось Оу и точку М (-2; 8; 6); б) перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку А (-4; 2; 8); в) параллельной оси Oz и проходящей через точки М (7; 2; 6) и N (-9; -7; -4).
Для составления уравнений плоскостей, нужно использовать общее уравнение плоскости:
\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]
где \( (A, B, C) \) - это нормальный вектор к плоскости, а \( D \) - это постоянная.
а) Плоскость, проходящая через ось OY и точку M(-2; 8; 6).
Плоскость, проходящая через ось OY, имеет нормальный вектор, который не имеет компоненты по оси Y, т.е. \( B = 0 \). Мы можем взять нормальный вектор, например, \( (1, 0, 1) \), поскольку плоскость должна содержать ось OY.
Пусть \( A = 1, B = 0, C = 1 \). Тогда уравнение плоскости будет иметь вид:
\[ 1(x + 2) + 0(y - 8) + 1(z - 6) = 0 \]
Упрощая, мы получаем:
\[ x + z - 4 = 0 \] или \[ x + z = 4 \]
б) Плоскость, перпендикулярная оси OX и проходящая через точку A(-4; 2; 8).
Плоскость, перпендикулярная оси OX, имеет нормальный вектор, который направлен вдоль оси OX, т.е. \((1, 0, 0)\).
Так как плоскость проходит через точку A(-4; 2; 8), подставим координаты точки в общее уравнение:
\[ 1(x + 4) + 0(y - 2) + 0(z - 8) = 0 \]
Упрощая, получаем:
\[ x + 4 = 0 \] или \[ x = -4 \]
в) Плоскость, параллельная оси OZ и проходящая через точки M(7; 2; 6) и N(-9; -7; -4).
Плоскость, параллельная оси OZ, будет перпендикулярна плоскости, параллельной OXY. Нормальный вектор к этой плоскости можно выразить через векторы, соединяющие точки M и N.
Выберем два вектора на плоскости:
- Вектор, проведенный из точки M в точку N: \(\vec{MN} = (-9 - 7; -7 - 2; -4 - 6) = (-16; -9; -10)\). Так как плоскость параллельна OZ, мы можем взять направление по осям X и Y, игнорируя Z (то есть берем только x и y координаты).
Нормальный вектор будет \((16, 9, 0)\).
Подставим точку M(7; 2; 6) в уравнение плоскости:
\[ 16(x - 7) + 9(y - 2) + 0(z - 6) = 0 \]
Упрощаем:
\[ 16x - 112 + 9y - 18 = 0 \] или \[ 16x + 9y - 130 = 0 \]
Теперь у нас есть уравнения всех трех плоскостей: а) \( x + z = 4 \) б) \( x = -4 \) в) \( 16x + 9y - 130 = 0 \)
