Дробь х3-х2/(х+2)(х2-х+11)<=0
Для решения неравенства \(\frac{x^3 - x^2}{(x + 2)(x^2 - x + 11)} \leq 0\) давайте сначала упростим его.
Упростим числитель: \[ x^3 - x^2 = x^2(x - 1) \] Таким образом, неравенство можно переписать как: \[ \frac{x^2(x - 1)}{(x + 2)(x^2 - x + 11)} \leq 0 \]
Определим нули числителя и знаменателя:
Числитель равен нулю, когда \(x^2(x - 1) = 0\):
- \(x^2 = 0\) даёт \(x = 0\) (двойной корень),
- \(x - 1 = 0\) даёт \(x = 1\).
Знаменатель равен нулю, когда \((x + 2)(x^2 - x + 11) = 0\):
- \(x + 2 = 0\) даёт \(x = -2\),
- \(x^2 - x + 11\) не имеет действительных корней (дискриминант \( (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 < 0\)), так как \(1 - 44 < 0\).
Таким образом, важные точки, которые нужно рассмотреть, это \(x = -2\), \(x = 0\) и \(x = 1\).
Анализируем знак функции на интервалах: Разобьем числовую ось на интервалах: \((-∞, -2)\), \((-2, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +∞)\).
Интервал \((-∞, -2)\): Выберем, например, \(x = -3\): \[ \frac{(-3)^2(-3 - 1)}{((-3) + 2)((-3)^2 - (-3) + 11)} \text{ будет > 0} \]
Интервал \((-2, 0)\): Выберем, например, \(x = -1\): \[ \frac{(-1)^2(-1 - 1)}{((-1) + 2)((-1)^2 - (-1) + 11)} < 0 \]
Интервал \((0, 1)\): Выберем, например, \(x = 0.5\): \[ \frac{(0.5)^2(0.5 - 1)}{(0.5 + 2)((0.5)^2 - 0.5 + 11)} < 0 \]
Интервал \((1, +∞)\): Выберем, например, \(x = 2\): \[ \frac{(2)^2(2 - 1)}{(2 + 2)((2)^2 - 2 + 11)} > 0 \]
Соберем результаты:
- Функция меньше или равна нулю на интервалах \((-2, 0]\) и \((0, 1]\).
- Точки, где функция равна нулю: \(x = 0\) и \(x = 1\) включаются, так как неравенство содержит знак ≤.
Ответ: Совокупность решений: \[ x \in [-2, 0] \cup [0, 1] \]
Это решение верно с учетом всех точек и знаков. Если есть дополнительные вопросы или необходимо прояснить какое-то из шагов, не стесняйтесь спрашивать!
