Докажите неравенство 4x²-4xy+2y²+12y+37>0.
Чтобы доказать неравенство \(4x^2 - 4xy + 2y^2 + 12y + 37 > 0\), начнем с анализа данного выражения.
Рассмотрим его как квадратичную функцию: это выражение можно рассматривать как квадратичную функцию относительно переменной \(x\). В общем виде квадратичная функция \(Ax^2 + Bx + C\) всегда больше нуля, если дискриминант меньше нуля.
Определим коэффициенты:
В нашем случае:
\(A = 4\),
\(B = -4y\),
\(C = 2y^2 + 12y + 37\).Найдём дискриминант:
Дискриминант \(D\) для данной функции будет равен: \[ D = B^2 - 4AC = (-4y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (2y^2 + 12y + 37). \] Упростим это: \[ D = 16y^2 - 16(2y^2 + 12y + 37) = 16y^2 - 32y^2 - 192y - 592. \] Объединим подобные: \[ D = -16y^2 - 192y - 592. \]Определяем условия для неравенства \(D < 0\):
Это будет парабола, открытая вниз, и мы выразим это неравенство: \[ D < 0 \quad \Rightarrow \quad -16(y^2 + 12y + 37) < 0. \] Таким образом, нам нужно, чтобы \(y^2 + 12y + 37 > 0\).Найдём дискриминант для этого нового выражения:
\[ D' = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 37 = 144 - 148 = -4. \] Поскольку дискриминант меньше нуля, то выражение \(y^2 + 12y + 37\) всегда положительно.Следовательно,
Так как \(D < 0\) для всех \(y\), квадратичная функция \(4x^2 - 4xy + 2y^2 + 12y + 37\) не имеет действительных корней. Это значит, что она всегда положительна.
Таким образом, мы доказали, что неравенство \(4x^2 - 4xy + 2y^2 + 12y + 37 > 0\) выполняется для всех \(x\) и \(y\).
