х+5+16/х-3>0
Давайте решим неравенство: \( \frac{x + 5 + 16}{x - 3} > 0 \).
Сначала упростим дробь:
- Объединим числитель: \( x + 5 + 16 = x + 21 \).
- Теперь мы имеем неравенство: \( \frac{x + 21}{x - 3} > 0 \).
Теперь нужно определить, при каких значениях \( x \) дробь положительна. Для этого рассмотрим числитель и знаменатель.
Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.
- Числитель равен нулю, когда \( x + 21 = 0 \), то есть \( x = -21 \).
- Знаменатель равен нулю, когда \( x - 3 = 0 \), то есть \( x = 3 \).
Шаг 2: Определим промежутки.
Теперь у нас есть точки -21 и 3. Они делят числовую ось на три промежутка:
- \( (-\infty, -21) \)
- \( (-21, 3) \)
- \( (3, +\infty) \)
Шаг 3: Проверим знак дроби в каждом промежутке.
Для промежутка \( (-\infty, -21) \):
- Выберем \( x = -22 \): \( \frac{-22 + 21}{-22 - 3} = \frac{-1}{-25} > 0 \). Положительно.
Для промежутка \( (-21, 3) \):
- Выберем \( x = 0 \): \( \frac{0 + 21}{0 - 3} = \frac{21}{-3} < 0 \). Отрицательно.
Для промежутка \( (3, +\infty) \):
- Выберем \( x = 4 \): \( \frac{4 + 21}{4 - 3} = \frac{25}{1} > 0 \). Положительно.
Шаг 4: Составим ответ.
Дробь положительна в промежутках \( (-\infty, -21) \) и \( (3, +\infty) \).
Неравенство не включает нули числителя и знаменателя. Таким образом, конечный ответ:
\( x \in (-\infty, -21) \cup (3, +\infty) \).
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
