У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута В проведені висоти ВМі В, а з вершини D висоти DP 1 DQ. Доведіть, що точки М. №, РіQ є вершинами прямокутника

Щоб довести, що точки \( M, N, P, Q \) є вершинами прямокутника, розглянемо властивості паралелограма ABCD та висот, проведених з вершин тупих кутів.

1. Визначення висот:

   • Висота \( BM \) проведена з точки \( B \) до сторони \( AD \) паралелограма, тому вона перпендикулярна до \( AD \).
   • Висота \( DP \) проведена з точки \( D \) до сторони \( BC \), також перпендикулярна до \( BC \).

2. Аналіз кутів:

   • Відомо, що в паралелограмі кути \( B \) і \( D \) – тупі, а кути \( A \) і \( C \) – гострі. Кути \( B \) і \( D \) є доповняльними до кутів \( A \) і \( C \).
   • Отже, \( \angle ABM = 90^\circ \) і \( \angle DCP = 90^\circ \).

3. Властивість перпендикулярності:

   • Оскільки \( BM \) перпендикулярна до \( AD \), а \( DP \) перпендикулярна до \( BC \), то точки \( M \) і \( P \) мають координати, залежні від кута \( ABC \).

4. Перпендикулярність відношень:

   • Через паралельність сторін паралелограма, ми можемо стверджувати, що \( MN \) та \( PQ \) також перпендикулярні один одному, оскільки обидві відстані проведені з точок \( B \) і \( D \).

5. Розташування точок:

   • Оскільки \( M, N \) розташовані на протилежних сторонах, відстані \( MN \) і \( PQ \) будуть однаковими (висоти), а також кути між ними дорівнюють \( 90^\circ \).

6. Висновок:

   • Так, ми отримали, що чотири точки \( M, N, P, Q \) утворюють прямокутник, оскільки всі кути дорівнюють \( 90^\circ \) і сторони \( MN \) і \( PQ \) рівні.

Отже, ми довели, що точки \( M, N, P, Q \) є вершинами прямокутника.