Привести пример формирующей функции

Формирующая функция – это функция, которая используется для описания распределения вероятностей некоторой случайной величины или процесса. Приведём пример формирующей функции для дискретной случайной величины.

Рассмотрим случайную величину \(X\), которая принимает значения \(1\), \(2\) и \(3\) с вероятностями \(P(X=1) = 0.2\), \(P(X=2) = 0.5\), и \(P(X=3) = 0.3\).

Формирующая функция \(M_X(t)\) для данной случайной величины будет вычисляться по формуле:

\[ M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{x} e^{tx} P(X=x) \]

Для нашего примера это будет:

\[ M_X(t) = e^{t \cdot 1} \cdot 0.2 + e^{t \cdot 2} \cdot 0.5 + e^{t \cdot 3} \cdot 0.3 \] \[ = 0.2 e^{t} + 0.5 e^{2t} + 0.3 e^{3t} \]

Таким образом, формирующая функция данной случайной величины \(X\) имеет вид \(M_X(t) = 0.2e^{t} + 0.5e^{2t} + 0.3e^{3t}\). Эта функция содержит важную информацию о распределении вероятностей и может быть использована для получения моментов случайной величины.