Путешествие Данис живёт на клетчатой плоскости и может перемещаться по плоскости в одном из четырёх направлений: направо, налево, вверх, вниз. За один шаг он перемещается на единицу длины. Ось ОХ (первая координата) направлена вправо, ось ОУ (вторая координата) направлена вверх. Данис начинает путь в точке (0; 0). Например, если он выполнит четыре команды перемещения «направо», «вниз», «налево», «вверх», то посетит следующие точки: (1; 0), (1; -1), (0;-1), (0; 0). Всего Данис сделал 1000 шагов, после чего захотел узнать ответы на следующие вопросы. 1. Сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9)?

Question 1

Задача Задача №1966579

А

Аноним

22 октября 2024 10:30 · публичный вопрос

А

Аноним 22 октября 2024 10:30

Путешествие Данис живёт на клетчатой плоскости и может перемещаться по плоскости в одном из четырёх направлений: направо, налево, вверх, вниз. За один шаг он перемещается на единицу длины. Ось ОХ (первая координата) направлена вправо, ось ОУ (вторая координата) направлена вверх. Данис начинает путь в точке (0; 0). Например, если он выполнит четыре команды перемещения «направо», «вниз», «налево», «вверх», то посетит следующие точки: (1; 0), (1; -1), (0;-1), (0; 0). Всего Данис сделал 1000 шагов, после чего захотел узнать ответы на следующие вопросы. 1. Сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9)?

Answer

Чтобы определить, сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9), нам нужно учитывать правила его перемещения по клетчатой плоскости.

Каждый шаг Даниса может переместить его на одну единицу в любом направлении, что означает, что его конечные координаты зависят от количества шагов в каждом направлении. Обозначим:

\( R \) - шаг вправо
\( L \) - шаг влево
\( U \) - шаг вверх
\( D \) - шаг вниз

Начальная точка расположена в (0, 0). После \( R \) шагов вправо и \( L \) шагов влево, его позиция по оси X будет:

\[ x = R - L \]

А после \( U \) шагов вверх и \( D \) шагов вниз, его позиция по оси Y будет:

\[ y = U - D \]

Для точки (-11, 9) хотим, чтобы:

\( R - L = -11 \)
\( U - D = 9 \)

Также известно, что за все путешествие Данис сделал 1000 шагов. Таким образом, имеем уравнение:

\[ R + L + U + D = 1000 \]

Теперь мы можем выразить \( L \) и \( D \) через \( R \) и \( U \):

\( L = R + 11 \)
\( D = U - 9 \)

Подставим эти выражения в уравнение про общее количество шагов:

\[ R + (R + 11) + U + (U - 9) = 1000 \]

Упростим это уравнение:

\[ 2R + 2U + 2 = 1000 \]

Теперь решим его:

\[ 2R + 2U = 998 \] \[ R + U = 499 \]

Мы можем выразить \( U \) как \( U = 499 - R \). Затем подставим это в выражения для \( L \) и \( D \):

\( L = R + 11 \)
\( D = (499 - R) - 9 = 490 - R \)

Теперь у нас есть все шаги:

\( R \) вправо
\( L \) влево: \( R + 11 \)
\( U \) вверх: \( 499 - R \)
\( D \) вниз: \( 490 - R \)

Теперь проверим, не отрицательны ли наши значения:

\( R \geq 0 \)
\( R + 11 \geq 0 \) (это всегда верно)
\( 499 - R \geq 0 \) → \( R \leq 499 \)
\( 490 - R \geq 0 \) → \( R \leq 490 \)

Таким образом, \( R \) должен находиться в пределах от 0 до 490. Значит, возможны значения \( R \) от 0 до 490, а каждое значение \( R \) даст одну уникальную комбинацию пути к точке (-11, 9).

Итак, мы можем посчитать возможные значения для \( R \), которые составляют 491 (от 0 до 490 включительно).

Следовательно, Данис может пройти через точку (-11; 9) 491 раз.

Question 2

Путешествие Данис живёт на клетчатой плоскости и может перемещаться по плоскости в одном из четырёх направлений: направо, налево, вверх, вниз. За один шаг он перемещается на единицу длины. Ось ОХ (первая координата) направлена вправо, ось ОУ (вторая координата) направлена вверх. Данис начинает путь в точке (0; 0). Например, если он выполнит четыре команды перемещения «направо», «вниз», «налево», «вверх», то посетит следующие точки: (1; 0), (1; -1), (0;-1), (0; 0). Всего Данис сделал 1000 шагов, после чего захотел узнать ответы на следующие вопросы. 1. Сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9)?

Answer

Чтобы определить, сколько раз Данис прошёл через точку (-11; 9), нам нужно учитывать правила его перемещения по клетчатой плоскости. Каждый шаг Даниса может переместить его на одну единицу в любом направлении, что означает, что его конечные координаты зависят от количества шагов в каждом направлении. Обозначим: - \( R \) - шаг вправо - \( L \) - шаг влево - \( U \) - шаг вверх - \( D \) - шаг вниз Начальная точка расположена в (0, 0). После \( R \) шагов вправо и \( L \) шагов влево, его позиция по оси X будет: \[ x = R - L \] А после \( U \) шагов вверх и \( D \) шагов вниз, его позиция по оси Y будет: \[ y = U - D \] Для точки (-11, 9) хотим, чтобы: 1. \( R - L = -11 \) 2. \( U - D = 9 \) Также известно, что за все путешествие Данис сделал 1000 шагов. Таким образом, имеем уравнение: \[ R + L + U + D = 1000 \] Теперь мы можем выразить \( L \) и \( D \) через \( R \) и \( U \): 1. \( L = R + 11 \) 2. \( D = U - 9 \) Подставим эти выражения в уравнение про общее количество шагов: \[ R + (R + 11) + U + (U - 9) = 1000 \] Упростим это уравнение: \[ 2R + 2U + 2 = 1000 \] Теперь решим его: \[ 2R + 2U = 998 \] \[ R + U = 499 \] Мы можем выразить \( U \) как \( U = 499 - R \). Затем подставим это в выражения для \( L \) и \( D \): 1. \( L = R + 11 \) 2. \( D = (499 - R) - 9 = 490 - R \) Теперь у нас есть все шаги: - \( R \) вправо - \( L \) влево: \( R + 11 \) - \( U \) вверх: \( 499 - R \) - \( D \) вниз: \( 490 - R \) Теперь проверим, не отрицательны ли наши значения: - \( R \geq 0 \) - \( R + 11 \geq 0 \) (это всегда верно) - \( 499 - R \geq 0 \) → \( R \leq 499 \) - \( 490 - R \geq 0 \) → \( R \leq 490 \) Таким образом, \( R \) должен находиться в пределах от 0 до 490. Значит, возможны значения \( R \) от 0 до 490, а каждое значение \( R \) даст одну уникальную комбинацию пути к точке (-11, 9). Итак, мы можем посчитать возможные значения для \( R \), которые составляют 491 (от 0 до 490 включительно). Следовательно, Данис может пройти через точку (-11; 9) 491 раз.