Если прямая y=-10 пересекает параболу заданную формулой y=ax2 + bx + c ровно в одной точке то ордината вершины этой параболы равна
Чтобы понять, при каких условиях прямая \( y = -10 \) пересекает параболу, заданную формулой \( y = ax^2 + bx + c \), ровно в одной точке, необходимо рассмотреть условия касания.
Уравнение пересечения: для нахождения точки пересечения прямой и параболы нужно приравнять их: \[ ax^2 + bx + c = -10. \]
Приведем уравнение к стандартному виду: \[ ax^2 + bx + (c + 10) = 0. \]
Условия касания: чтобы прямая пересекала параболу в одной точке, дискриминант этого квадратного уравнения должен равняться нулю: \[ D = b^2 - 4a(c + 10) = 0. \]
Нахождение ординаты вершины параболы: ордината вершины параболы \((x_v, y_v)\) находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a}, \] а подставив этот \( x_v \) в уравнение параболы, мы получаем ординату вершины: \[ y_v = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c. \]
Упростим это выражение: \[ y_v = a\left(\frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + c = -\frac{b^2}{4a} + c. \]
Выражение для координаты: Теперь, учитывая, что дискриминант равен нулю, мы можем выразить \( c \) через \( b \) и \( a \): \[ b^2 = 4a(c + 10). \] Таким образом, \[ c = \frac{b^2}{4a} - 10. \]
Подставим значение \( c \) в уравнение для \( y_v \): \[ y_v = -\frac{b^2}{4a} + \left(\frac{b^2}{4a} - 10\right) = -10. \]
Таким образом, ордината вершины параболы равна \( -10 \), что соответствует ординате прямой, с которой она соприкасается.
