х+19/х+32-х/х+4=1/5
Чтобы решить уравнение \( \frac{x + 19}{x + 32} - \frac{x}{x + 4} = \frac{1}{5} \), начнем с приведения всех членов к общему знаменателю. Общий знаменатель для частей уравнения будет \( (x + 32)(x + 4) \).
- Умножим каждую часть уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:
\[ 5(x + 19)(x + 4) - 5x(x + 32) = (x + 32)(x + 4) \]
- Раскроем скобки:
- Слева: \( 5(x^2 + 4x + 19x + 76) - 5(x^2 + 32x) \)
- Справа: \( x^2 + 36x + 128 \)
После раскрытия скобок и упрощения получим:
\[ 5(x^2 + 23x + 76) - 5x^2 - 160x = x^2 + 36x + 128 \]
- Упростим левую часть:
\[ 5x^2 + 115x + 380 - 5x^2 - 160x = x^2 + 36x + 128 \]
Это упростится до:
\[ -45x + 380 = x^2 + 36x + 128 \]
- Переносим все члены в одну сторону:
\[ 0 = x^2 + 81x - 252 \]
- Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 81^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 6561 + 1008 = 7569 \]
- Находим корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-81 \pm 87}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{-168}{2} = -84 \)
Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[ x_1 = 3, \quad x_2 = -84 \]
Не забудьте проверить найденные значения, подставив их обратно в исходное уравнение! Это поможет убедиться, что они действительно являются решениями.
