Два экскаватора разных моделей вырыли котлован за 8 ч. Первый экскаватор, работая самостоятельно, может вырыть такой котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может вырыть такой котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?

Обозначим время, за которое первый экскаватор вырывает котлован самостоятельно, как \( t_1 \) часов, а время для второго экскаватора — \( t_2 \) часов. Из условия задачи известно, что первый экскаватор работает в 4 раза быстрее второго. Это можно записать как:

\[ t_1 = \frac{t_2}{4} \]

Теперь рассмотрим производительность экскаваторов. Производительность первого экскаватора за 1 час составляет \( \frac{1}{t_1} \), а второго — \( \frac{1}{t_2} \). Когда оба экскаватора работают вместе, они выполняют свою работу за 8 часов, значит, их совместная производительность равна:

\[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8} \]

Теперь подставим \( t_1 \) в уравнение:

\[ \frac{1}{\frac{t_2}{4}} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8} \]

Упрощаем первое слагаемое:

\[ \frac{4}{t_2} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8} \]

Объединим дроби:

\[ \frac{5}{t_2} = \frac{1}{8} \]

Теперь решим это уравнение для \( t_2 \):

\[ t_2 = 5 \times 8 = 40 \]

Теперь найдем \( t_1 \):

\[ t_1 = \frac{t_2}{4} = \frac{40}{4} = 10 \]

Итак, время, за которое может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно, составляет:

• Первый экскаватор: 10 часов.
• Второй экскаватор: 40 часов.

Эти результаты покажут, что первый экскаватор значительно эффективнее в выполнении работы!