X2+4y2+16y=0

Чтобы решить уравнение \(x^2 + 4y^2 + 16y = 0\), давайте сначала приведем его к более удобному виду.

1. Перепишем уравнение: \[ x^2 + 4y^2 + 16y = 0. \]

2. Обратите внимание на часть с \(y\). Мы можем упростить её, добавив и вычитая квадрат половины коэффициента перед \(y\): \[ 4y^2 + 16y = 4(y^2 + 4y). \] Теперь найдем квадрат половины \(4\): \[ \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4. \] Добавим и вычтем этот квадрат внутри скобок: \[ 4(y^2 + 4y + 4 - 4) = 4((y + 2)^2 - 4). \]

3. Теперь подставим это обратно в уравнение: \[ x^2 + 4((y + 2)^2 - 4) = 0. \] Упрощаем: \[ x^2 + 4(y + 2)^2 - 16 = 0. \] Переносим \(16\) в другую сторону: \[ x^2 + 4(y + 2)^2 = 16. \]

4. Теперь это уравнение имеет форму: \[ \frac{x^2}{16} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1. \] Это уравнение эллипса с центром в точке \((0, -2)\), в котором полуось по оси \(x\) равна \(4\) (так как \(\sqrt{16} = 4\)), а полуось по оси \(y\) равна \(2\) (так как \(\sqrt{4} = 2\)).

Таким образом, мы определили уравнение и его геометрическую интерпретацию. Если есть дополнительные вопросы или требуется более подробно рассмотреть какой-либо аспект, не стесняйтесь задавать!