В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, BC = 4√6. Найдите AC,

В треугольнике ABC у нас есть углы: угол A равен 45°, угол B равен 60°, а стороны BC = 4√6. Давайте найдем сторону AC, используя теорему синусов.

Сначала, найдём угол C. Сумма всех углов в треугольнике равна 180°:

\( C = 180° - A - B = 180° - 45° - 60° = 75° \).

Теперь, применим теорему синусов, которая гласит:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]

где a, b и c — это стороны треугольника, противоположные углам A, B и C соответственно.

Обозначим:

• a = BC = 4√6 (противоположная углу A),
• b = AC (противоположная углу B),
• c = AB (противоположная углу C).

Теперь запишем соотношение для сторон:

\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}. \]

Подставляем известные значения:

\[ \frac{4√6}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 60°}. \]

Значения синусов:

\(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь подставим их в уравнение:

\[ \frac{4√6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \]

Упрощаем:

\[ 4√6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

Это превращается в:

\[ \frac{8√6}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

Упрощаем \( \frac{8√6}{\sqrt{2}} \):

\[ = 8√3. \]

Тогда наше уравнение будет:

\[ 8√3 = AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}. \]

Теперь умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ AC = 8√3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12. \]

Таким образом, длина стороны AC равна 12.